Медина — воспитанник клуба «Ривер Плейт». В начале 2018 года Факундо перешёл в «Тальерес» из Кордовы. 12 августа в матче против «Бока Хуниорс» он дебютировал в аргентинской Примере. 25 февраля 2020 года в поединке против «Уракана» Факундо забил свой первый гол за «Тальерес». Летом 2020 года Медина перешёл во французский «Ланс». 23 августа в матче «Ниццы» он дебютировал в Лиге 1. 13 сентября в поединке против «Лорьяна» Факундо забил свой первый гол за «Ланс».