Федерико занимался футболом в системе клуба «Пеньяроль». В высшей уругвайской лиге он дебютировал 16 августа 2015 года в матче против «Серро». В сентябре 2015 года, успев сыграть всего два матча в уругвайской Примере, Вальверде договорился о переходе в «Реал Мадрид». Поскольку игроку на тот момент было лишь 17 лет, он не мог присоединиться к мадридскому клубу до достижения совершеннолетия и лета 2016 года выступал за «Пеньяроль». В сезоне 2015/16 Вальверде провёл 12 матчей за «мирасолес» в первенстве Уругвая. 22 июля 2016 года Вальверде заключил с «Реалом» контракт и сразу был отправлен в фарм-клуб «Реал Мадрид Кастилья». За переход молодого уругвайца мадридский клуб заплатил около 5 млн евро, контракт с футболистом был подписан до лета 2021 года. Сезон 2016/17 Вальверде провёл в «Кастилье», где тренировался под началом Сантьяго Солари и провёл 30 матчей в Сегунде B, отличившись тремя забитыми голами. В июне 2017 года Федерико был отдан на сезон 2017/2018 в аренду клубу «Депортиво Ла-Корунья». Он дебютировал в испанской Примере 10 сентября в матче против «Реал Сосьедада» (2:4). Перед началом сезона 2018/19 новый главный тренер «Реала» Юлен Лопетеги взял Федерико вместе с первой командой клуба в турне по США. Там Вальверде дебютировал за «Реал» в товарищеском матче с «Манчестер Юнайтед». После того, как в аренду отправился Матео Ковачич, тренерский штаб мадридского клуба решил оставить Вальверде в первой команде. 23 октября 2018 года Федерико дебютировал за «Реал» в официальном матче, выйдя на замену в игре с «Викторией» в Лиге чемпионов.