Флавиус - уроженец Вены, столицы Австрии. Заниматься футболом начинал в команде «Адмира Ваккер», затем провёл год в венском «Рапиде», где его присмотрел мадридский «Реал», академию которого он пополнил в 10 лет, за что впоследствии «сливочные» получили запрет на трансферы. Флавиус также не прижился в команде, и после конфликтов с партнёрами покинул Мадрид. По совету Давида Алаба, отец перевёз Флавиуса в академию «Баварии». В 2018 году Данилюк попал в список 60 талантливых молодых футболистов, который ежегодно составляет The Guardian. 26 июля 2019 года Данилюк дебютировал в третьей немецкой лиге за «Баварию II» поединком против «Юрдингена». Всего провёл за вторую команду мюнхенцев 4 матча. 18 июня Данилюк подписал контракт с французской «Ниццей». 20 сентября 2020 года дебютировал в Лиге 1 в поединке против «Пари Сен-Жермен», выйдя на замену на 65-ой минуте вместо Юсефа Аталя. Является игроком юношеских сборных Австрии.