Эурснес — воспитанник клуба «Харэйд» из своего родного города. В 2012 году Фредрик перешёл в «Хёдд», где и начал профессиональную карьеру. 22 апреля 2012 года в матче против «Будё-Глимт» он дебютировал в Первом дивизионе Норвегии. В своём дебютном сезоне Эурснес помог клубу выиграть Кубок Норвегии. 28 апреля 2013 года в поединке против «Стабека» Фредрик забил свой первый гол за «Хёдд». В начале 2016 года Эурснес перешёл в «Молде». 13 марта в матче против «Тромсё» он дебютировал в Типпелиге. В этом же поединке Фредрик забил свой первый гол за «Молде».