В 5 лет начал заниматься футболом в школе московского «Динамо», первый тренер — Юрий Алексеевич Ментюков. В 2008 году в команде сменился тренер, с которым у Мелкадзе возникли разногласия, поэтому он перешёл в «Спартак» в команду 1997 года рождения. На детских и юношеских турнирах стабильно играл в основном составе «Спартака» 1997 г. р., который выиграл первенство Москвы по футболу в 2014 году. После выпуска из академии в сезоне 2014/15 играл как за молодёжный состав «Спартака» (14 матчей, 4 гола в молодёжном первенстве), так и за «Спартак-2» (7 матчей, 1 гол в ПФЛ). Дебют за вторую команду состоялся 23 сентября 2014 года в матче против «Знамени Труда». Также два раза вышел на замену в РФПЛ за основной состав «Спартака», дебютировав 17 мая 2015 года в матче 28-го тура против ЦСКА (0:4), выйдя на 59-й минуте запомнился активными и смелыми действиями. Сезон 2015/16 начал выступая за «Спартак-2» в ФНЛ, занимая разные позиции в полузащите, чаще всего на левом фланге. Всего провёл 22 матча (10 — в стартовом составе), в которых забил 7 мячей и отдал 4 голевые передачи, что позволило ему стать одним из трёх лучших бомбардиров и вторым по системе «гол+пас» среди игроков «Спартака-2». С января 2016 года тренировался с основной командой «Спартака» и попадал в заявки команды на все матчи осенней части премьер-лиги. В этих матчах 4 раза выходил на замену, не отметившись результативными действиями. Таким образом, зиму и весну 2016 года Мелкадзе провёл, выступая сразу за две команды в структуре «Спартака». По этой причине в весенней части первенства ФНЛ участвовал только в домашних матчах, проводя на поле не более 45 минут. Однако, это не помешало ему стать лучшим молодым футболистом ФНЛ по итогам сезона. В декабре 2015 года подписал новый контракт со «Спартаком» до 31 мая 2019 года. 29 мая 2019 года Мелкадзе продлил контракт с клубом, новое соглашение рассчитано на 3 года.