Гаррисон — воспитанник футбольной академии «Саутгемптона». Дебютировал в основном составе 27 августа 2013 года в игре Кубка Футбольной лиги против «Барнсли», выйдя на замену Джею Родригесу. 7 декабря 2013 года дебютировал в Премьер-лиге в матче против «Манчестер Сити», выйдя на замену Стивену Дэвису. 20 декабря 2014 года дебютировал в стартовом составе матча Премьер-лиги. Это была игра против «Эвертона», в котором «святые» одержали победу со счётом 3:0, а Рид провёл на поле все 90 минут.