Харви Барнс родился в Бернли, но детство его прошло в Каунтесторпе, графство Лестершир. Футболом он начал заниматься в раннем детстве, в академию футбольного клуба «Лестер Сити» был зачислен в возрасте восьми-девяти лет. Он хорошо проявил себя в клубной команде юношей до 18 лет, с которой в 2015 году дошёл до полуфинала Молодёжного кубка Англии. В сезоне 2015/2016 Барнс привлекался к играм команды до 21 года, продолжая выступать и в более младшей команде «Лестера». В 2016 году Харви выступал за команду «Лестера» на международном турнире по футболу «семь на семь» (HKFC Soccer Sevens), где его команда выиграла второй приз. В июне 2016 года Барнс заключил с «Лестер Сити» свой первый профессиональный контракт на три года. В первой половине сезона 2016/2017 Барнс выступал за «Лестер» в Лиге профессионального развития и хорошо проявил себя там, забив пять голов и отдав пять голевых передач. Благодаря этому молодой футболист получил шанс сыграть за основную команду клуба. Его дебют состоялся 7 декабря 2016 года в матче Лиги чемпионов против «Порту», в котором Барнс на 76-й минуте заменил Дэнни Дринкуотера. Хотя встреча завершилась разгромным поражением «Лестера» со счётом 0:5, свой выход на поле в том матче Харви назвал огромным личным достижением.