Аспас начал карьеру в клубе «Сельта», за который выступал с 1995 года. Всего за «Сельту» Яго отыграл в 136 матчей и забил 46 голов. В сезоне 2012/13 сыграл ключевую роль в составе «Сельты» и помог клубу сохранить место в Примере, тем самым заинтересовав английский «Ливерпуль». Летом 2013 года испанец перебрался в английский «Ливерпуль». Сумма трансфера составила примерно 8 млн евро. Игрок взял себе 9 номер. С возвращением Луиса Суареса после дисквалификации плотно осел на скамейке запасных. Первый и единственный гол за клуб забил в ворота «Олдхэма» в рамках Кубка Англии (2:0). 14 июля 2014 года Аспас отправился в аренду на один сезон в «Севилью». 12 июня 2015 года Аспас вернулся в «Сельту» за пять миллионов евро. 17 апреля 2019 года Аспас продлил контракт с клубом до 2023 года.