Вуячич начал профессиональную карьеру в клубе «Зета». 17 сентября 2011 года в матче против «Ловчена» он дебютировал в чемпионате Черногории. 26 ноября в поединке против «Бокеля» Игор забил свой первый гол за «Зету». В 2013 году Вуячич перешёл в сербскую «Войводину». 12 мая в матче против «Нови-Пазар» он дебютировал в сербской Суперлиге. В 2014 году Вуячич перешёл в польский «Видзев», но выступал только дублирующий состав. Летом 2014 года Вуячич вернулся на родину, став игроком «Могрена». 23 августа в матче против своего бывшего клуба «Зета» он дебютировал за новую команду. В начале 2015 году Игор вернулся в «Зету», в составе которой выступал на протяжении четырёх сезонов. В 2019 году Вуячич перешёл в белградский «Партизан». 25 сентября в матче против «Явора» он дебютировал за новую команду. 21 февраля 2021 года в поединке против «Радника» Игор забил свой первый гол за «Партизан». Летом 2023 года Вуячич перешёл в российский «Рубин».