Илья начал заниматься футболом в футбольной школе ставропольского «Динамо», в возрасте 7 лет, у тренера Попова Игоря Витальевича. Первоначально, играл на позиции полузащитника. В ноябре 2011 года попал в сферу интересов петербургского «Зенита», но предложения так и не последовало. 11 июня 2012 года, после просмотра за дубль московского «Спартака» в международном турнире в Германии, где Кутепов провёл все матчи, оставив о себе благоприятное впечатление, заключил долгосрочный контракт с клубом. 10 декабря 2012 года дебютировал за основной состав «Спартака», выйдя на замену в добавленное время в гостевом матче против «Рубина». Матч завершился победой москвичей со счётом 1:0. Спустя почти три года, 1 ноября 2015 года, уже под руководством Дмитрия Аленичева, 22-летний Кутепов был включён в стартовый состав «Спартака» в домашнем матче с «Уралом» (0:1), составив пару центральных защитников с Сердаром Таски. 7 ноября отыграл полный матч против «Терека» в гостях (1:2), а 22 ноября вместе с Сальваторе Боккетти провёл весь матч в центре обороны против «Краснодара» (3:2). В матче 17 октября 2020 года с «Химками» в конце 2-го тайма принял капитанскую повязку после замены Романа Зобнина (который был капитаном в матче из-за карантина Георгия Джикии). 12 декабря 2020 года в матче чемпионата России против «Сочи» (0:1) провёл свой 100-й матч за «Спартак».