Дебютировал в молодёжном первенстве России в марте 2012 года в возрасте 15 лет в матче против «Зенита», выйдя на замену вместо получившего травму Вячеслава Исупова. В начале 2013 года получил тяжёлую травму — разрыв крестообразной связки, из-за которой пропустил концовку сезона. В сезонах 2011/12—2016/17 провёл 89 матчей в молодёжном первенстве и 12 игр в юношеской Лиге чемпионов. В главной команде ЦСКА дебютировал 6 августа 2017 года, выйдя в стартовом составе против «Рубина» вместо травмированного Игоря Акинфеева и к 10-й минуте пропустил два гола. В итоге ЦСКА уступил 1:2; от издания «Спорт-Экспресс» Помазун получил крайне низкую оценку — 3,0 из 10. Через три дня в гостевой игре против «Тосно» (2:1) пропустил один гол. 20 сентября в гостевой игре 1/16 Кубка России против курского «Авангарда» (0:1) пропустил гол с пенальти на 114-й минуте. В связи с дисквалификацией Акинфеева 23 октября 2018 сыграл в Лиге чемпионов против итальянской «Ромы» (0:3). В матче 1/16 финала Кубка России 2019/20 против «Алании» (3:1) сыграл все 90 минут, пропустил с пенальти. В матче 1/8 финала Кубка России против «Уфы» (1:0) и игре группового этапа Лиги Европы против «Эспаньола» (1:0) голов не пропустил. 5 августа 2020 года перешёл в «Урал» на правах аренды для получения игровой практики. 19 августа 2020 года дебютировал за основной состав в игре против «Локомотива» (1:1), после игры получил награду лучшему игроку матча. 25 февраля 2021 года был отозван из аренды, в связи с подозрением на коронавирус у основного вратаря команды Игоря Акинфеева и запасного Владислава Торопа. 27 февраля 2021 года сыграл первый матч после возвращения из аренды: против «Локомотива», в котором ЦСКА проиграл 0:2. 9 июня 2021 года вернулся в «Урал» на правах аренды.