Янник родился в Копенгагене и получать своё футбольное образование начал там же. Он занимался в школах различных датских клубов, среди которых были «Фрем», «Копенгаген» и «Брондбю». В 2010 году Вестергор подписал контракт с немецким «Хоффенхаймом», который каждый год совершенствует свою академию и всё тщательней и глобальней занимается поиском игроков. Поначалу Янник тренировался в юношеской команде, однако вскоре стал игроком второй команды «Хоффенхайма». В ней ему довелось дебютировать 12 августа 2010 года в гостевом поединке 2-го тура Южной Регионаллиги против «Вортматии Вормс», который закончился победой со счётом 5:1. Янник вышел в основном составе и провёл на поле весь матч. Всего в сезоне 2010/11 он провёл 19 матчей и забил три мяча. В конце сезона 2010/11 его также подпустили к тренировкам в основном составе. А 16 апреля 2011 года в домашнем поединке 30-го тура против «Айнтрахта» он дебютировал в Бундеслиге. Матч закончился победой 1:0, Янник вышел на поле на 89-й минуте, заменив Райана Бабела. 16 мая 2012 года был вызван на сбор национальной команды Дании перед Чемпионатом Европы, при том главный тренер сборной Мортен Ольсен не включил его в список 20-ти футболистов, которые точно поедут на Евро. 27 января 2015 года перешёл в бременский «Вердер», подписав контракт до 2018 года. Дебютировал за клуб в матче первого тура сезона 2014/15 против «Герты».