Начал карьеру в академии клуба «Бернли». С 2007 года начал выступать за основной состав команды. 29 декабря дебютировал за Clarets в матче Чемпионата Футбольной лиги против «Бристоль Сити» на «Терф Мур». В январе 2008 года отравился в аренду в шотландский клуб «Стерлинг Альбион». 12 января дебютировал за «Альбион» в матче Кубка Шотландии против «Селтика». Он выступал за «Стерлинг» до окончания сезона, по итогам которого клуб выбыл из высшего дивизиона. В сезоне 2008/09 Родригес выступал за «Бернли». 23 сентября в матче Кубка Футбольной лиги против «Фулхэма» Родригес забил свой первый гол за клуб. Он регулярно выходил на замену в матчах основного состава, отметившись забитыми мячами в матчах против «Куинз Парк Рейнджерс» в Кубке Англии и против «Тоттенхэм Хотспур» в полуфинале Кубка Футбольной лиги. 11 марта забил свой первый гол в чемпионате в матче против «Кристал Пэлас». 14 марта Родригес забил выдающийся гол в ворота «Ноттингем Форест», который впоследствии был признан лучшим голом «Бернли» в сезоне. 11 апреля 2009 года Джей дебютировал в стартовом составе своей команды в матче против «Куинз Парк Рейнджерс». Родригес помог своему клубу выйти в Премьер-лигу, сыграв в финале плей-офф Чемпионата Футбольной лиги против «Шеффилд Юнайтед».