Одгор — воспитанник клуба «Люнгбю». 28 октября 2015 года в поединке Кубка Дании против «Ольборга» Йенс дебютировал за основной состав, в возрасте 16 лет. 17 апреля 2016 года в матче против «Нестведа» он дебютировал в Первой лиге Дании. По итогам сезона Одгор помог команде выйти в элиту. 24 июля в матче против «Оденсе» он дебютировал в датской Суперлиге в возрасте 17 лет. 19 марта 2017 года в поединке против «Брондбю» Йенс забил свой первый гол за «Люнгбю». Летом 2017 года Одгор перешёл в миланский Интер, присоединившись к молодёжной команде. Сумма трансфера составила 1,5 млн. евро. Летом 2018 года Йенс перешёл в «Сассуоло». В контракте была прописана опция обратного выкупа. В сезоне 2019/20 выступал на правах аренды за нидерландский «Херенвен». В июле 2021 года был арендован «Валвейком».