Джозеф — воспитанник футбольной академии «Чарльтон Атлетик», за молодёжную команду (до 18 лет) которого он дебютировал в 13 лет. Несмотря на интерес клубов английской Премьер-Лиги к защитнику, Гомес подписал в 2014 году свой первый профессиональный контракт с «Эддикс». Дебют Джозефа за основную команду «Чарльтона» состоялся 12 августа 2014 года в матче Кубка Футбольной лиги против «Колчестер Юнайтед», в котором он провёл на поле все 90 минут на позиции правого защитника. Неделю спустя Гомес впервые сыграл за «Чарльтон» в чемпионате. В конце сезона получил награду, как лучшему молодому игроку и претендовал на приз лучшего новичка Чемпионшипа.