Муссо — воспитанник клуба «Расинг». В 2012 году он был включён в заявку основной команды. В 2014 году Хуан стал чемпионом страны, хотя на поле не провёл ни минуты. 28 мая 2017 года в матче против «Сан-Лоренсо» он дебютировал в аргентинской Примере. В следующем сезоне Хуан стал основным вратарём клуба. Летом 2018 года Муссо перешёл в итальянский «Удинезе», подписав контракт на пять лет. 28 октября в матче против «Дженоа» он дебютировал в итальянской Серии A.