Куцка, воспитанник клуба «Прьевидза», карьеру профессионального футболиста начал в клубе «Спорт Подбрежова». В 2007 году перешёл в более именитый клуб, став игроком «Ружомберока». В январе 2009 года перебрался в пражскую «Спарту», заключив с многократными чемпионами Чехии трёхлетний контракт. 2 января 2011 года Куцка перешёл в итальянский клуб «Дженоа». Сумма трансфера составила приблизительно 3 млн евро. В начале августа 2011 года «Дженоа» продал за 8 млн евро половину прав на Куцку миланскому «Интернационале». 31 августа 2011 года в рамках сделки между «Дженоа» и «Интером» по взаимному обмену игроками, подписал контракт сроком до 30 июня 2016 года. При этом Куцка и Эмилиано Вивиано, который также стал частью данной сделки, в сезоне 2011/12 останутся играть в прежних клубах на правах аренды. В августе 2015 года перешёл в «Милан».