Эккеленкамп — воспитанник футбольного клубов «Алмере Сити» и амстердамского «Аякса». Для получения игровой практики он начал выступать за команду дублёров последнего. 9 апреля 2018 года в поединке против «Ден Босха» Юрген дебютировал в Эрстедивизи за резерв амстердамского клуба. 19 апреля в матче ВВВ-Венло он дебютировал в Эредивизи. В 2019 году Эккеленкамп стал чемпионом и завоевал Кубок Нидерландов.