Начинал карьеру в «Москве», а в 2009 году перешёл в ЦСКА, за который играет до сих пор. За сборную России сыграл пять матчей, был в её составе на чемпионате Европы 2012. Трёхкратный чемпион России (2012/13, 2013/14, 2015/16), двукратный серебряный призёр (2010, 2014/2015), бронзовый призёр (2011/12), двукратный обладатель Кубка (2011, 2013) и Суперкубка (2013, 2014). В 2009 году был включён в список 33 лучших футболистов чемпионата России под 3-м номером, как правый защитник. После чемпионата России 2009 года Набабкин перешёл в ЦСКА. Так как «Москва» была расформирована из-за долгов, он ушёл в стан «армейцев» свободным агентом. После перехода Кирилл сказал: «Здесь серьёзная конкуренция на каждой позиции. Но это хорошо. Буду доказывать своё право на место в составе». Такое высказывание обусловлено тем, что на момент его перехода в ЦСКА на позиции правого защитника играли Чиди Одиа и Алексей Березуцкий. Набабкин сыграл первый матч за новую команду 27 марта 2010 года в третьем туре, где соперником армейцев был махачкалинский «Анжи». Как и в «Москве», он получил жёлтую карточку в дебютной игре. В европейских кубковых турнирах в составе нового клуба первый раз Кирилл сыграл 19 августа в матче против кипрского «Анортосиса». В 29-м туре чемпионата в главном московском дерби после столкновения с Антоном Ходыревым Кирилл получил перелом лицевой кости. В первом сезоне за ЦСКА он провёл 16 матчей во всех турнирах. Несмотря на то, что в начале сезона он расценивался, как игрок запаса, к концу сезона Кирилл стал постоянно попадать в основной состав. Некоторые журналисты и сам футболист отмечают, что Леонид Слуцкий смог раскрыть Набабкина в игровом плане. В 2012 году после покупки Марио Фернандеса Набабкин стал реже появляться в основном составе ЦСКА. Для сравнения, в сезоне 2012/13 он сыграл 24 матча, а в следующем — всего 18. 14 марта 2015 года забил свой первый гол в клубной карьере в матче 19-го тура чемпионата России против «Мордовии» (4:0). 4 мая того же года Набабкин сыграл 100-й матч в чемпионате России за ЦСКА. Из-за травмы Щенникова ему стали давать больше игрового времени на позиции левого защитника, и весенний отрезок чемпионата играл по большей части Кирилл. По окончании сезона Слуцкий дал игре Набабкина положительную оценку. 30 августа 2015 года Набабкин отличился на последних минутах матча против «Кубани», забив гол, который стал победным, а также 500-м голом, забитым «армейцами» в выездных матчах. 29 ноября Кирилл забил мяч в ворота «Анжи» на 10-й минуте, но во втором тайме махачкалинцы отыгрались усилиями Ильи Максимова. Всего за сезон 2015/16 Набабкин сыграл 17 матчей в Кубке и чемпионате России, забив два гола. В следующем сезоне Кирилл стал появляться в составе ещё реже, приняв участие лишь в 10 играх за год, при этом только в двух поединках он провёл на поле все 90 минут.