В 13 лет Костас Лампру переехал в Нидерланды по приглашению тренеров из знаменитой футбольной академии «Аякса». В дальнейшем продолжил карьеру в футбольной академии «Фейеноорда», где впоследствии стал основным вратарём молодёжной команды. Проведя несколько сезонов в Эредивизи, отыграл 15 матчей за роттердамский клуб. Лампру не устраивала роль не основного вратаря команды, и он решил отправиться в аренду в клуб «Виллем II». В этой команде Костас быстро завоевал место основного вратаря и даже признавался лучшим игроком сезона. Отыграв за «Виллем II» три сезона и хорошо проявив себя в Эредивизи, на вратаря обратили внимание в «Аяксе». В августе 2017 года 25-летний вратарь подписал с «Аяксом» контракт на один сезон до 30 июня 2018 года. За основной состав дебютировал 25 октября в кубковом матче против любительского клуба «Де Дейк». В июле 2018 года продлил контракт с «Аяксом» ещё на один сезон. В июле 2020 года перешёл в «Валвейк». 10 июня 2021 года подписал двухлетний контракт с клубом ПЕК Зволле.