Леннарт Грилль является воспитанником футбольного клуба «Майнц 05» и «Кайзерслаутерн». За дубль последнего дебютировал в матче против «Гессен-Кассель». Свой первый «сухарь» оформил в матче против «Гисена». За «Кайзерслаутерн» дебютировал в матче против футбольного клуба «Зонненхоф Гроссаспах», где отстоял насухо. Из-за перебора жёлтых карточек пропустил матч против «Мюнхен 1860». Всего за «Кайзерслаутерн» сыграл 75 матчей, где пропустил 97 мячей и сделал 28 «сухарей». 1 июля 2020 года перешёл в «Байер» за 2 миллиона евро. За клуб дебютировал в матче против «Фрайбурга». Свой первый «сухарь» оформил в матче против «Боруссии Мёнхенгладбах». 30 августа 2021 года перешёл в «Бранн». За клуб дебютировал в матче против «Лиллестрёма». Всего за «Бранн» сыграл 15 матчей, где пропустил 24 мяча.