Мартинес — воспитанник клуба «Ньюэллс Олд Бойз». 28 июня 2017 года в матче против «Годой-Крус» он дебютировал в аргентинской Примере. В том же году для получения игровой практики Мартинес был отдан в аренду в «Дефенса и Хустисия». 14 октября в матче против «Сан-Лоренсо» он дебютировал за новый клуб. 5 ноября в поединке против «Темперлей» Лисандро забил свой первый гол за «Дефенсу и Хустисию». Летом 2018 года клуб выкупил трансфер Мартинеса за 550 тыс.евро. 20 мая 2019 года подписал четырёхлетний контракт с амстердамским «Аяксом».