Бойе — воспитанник клуба «Ривер Плейт». 11 августа 2014 года в матче против «Химнасия Ла-Плата» он дебютировал в аргентинской Примере. 1 сентября в поединке против «Сан-Лоренсо» Лукас забил свой первый гол за «Ривер». В своём первом сезоне он стал обладателем Суперкубка Аргентины, а также завоевал Южноамериканский кубок. В 2015 году Бойе выиграл в клубом Рекопу Южной Америки и Кубок Либертадорес. Летом Лукас на правах аренды перешёл в «Ньюэллс Олд Бойз». 13 сентября в матче против «Росарио Сентраль» он дебютировал за новый клуб. 29 сентября в поединке против «Эстудиантеса» Бойе забил свой первый гол за «бойз». В начале 2016 года Лукас подписал контракт с итальянским «Торино», который вступит в силу летом. Летом Бойе присоединился к туринскому клубу. 21 августа в матче против «Милана» он дебютировал в итальянской Серии A, заменив во втором тайме Адема Ляича. 28 мая 2017 года в поединке против «Сассуоло» Лукас забил свой первый гол за «Торино».