Мартинес — воспитанник клуба «Ривер Плейт». 21 ноября 2016 года в матче против «Ньюэллс Олд Бойз» он дебютировал в аргентинской Примере. 22 июня 2017 года в поединке против «Альдосиви» он забил свой первый гол за «Ривер Плейт». В составе клуба он дважды выиграл Кубок Аргентины. В 2018 году завоевал с «Ривером» Суперкубок Аргентины и Кубок Либертадорес. В 2020 году Мартинес перешёл в итальянскую «Фиорентину», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 6 млн. евро. 25 октября в матче против «Удинезе» он дебютировал в итальянской Серии A. 7 марта 2021 года в поединке против «Пармы» Лукас забил свой первый гол за «Фиорентину».