Илич — воспитанник клубов «Реал Ниш» и «Црвена Звезда». К играм за взрослую команду Луку начал привлекать Миодраг Божович, который выпустил его на поле в товарищеском матче против болгарского «Лудогорца». В 2016 Илич подписал с клубом первый профессиональный контракт. 6 июля 2017 года в матче квалификации Лиги Европы против мальтийской «Флорианы» он дебютировал за основной состав в официальной встрече. Летом того же года Илич и его младший брат Иван перешли в английский «Манчестер Сити». Сумма трансферов составила 5 млн. евро. Для получения игровой практики Лука был на год оставлен в «Црвене Звезде» на правах аренды. 13 августа в матче против «Бачка 1901» он дебютировал в чемпионате Сербии. 14 октября в поединке против «Мачва» Лука забил свой первый гол за «Црвену Звезду». По итогам сезона он стал чемпионом страны. Летом Илич перешёл в нидерландский НАК Бреда. 12 августа в матче против АЗ он дебютировал в Эредивизи. 5 октября 2020 года перешёл на правах аренды в «Твенте»