В структуре «Лейпцига» сначала оказался в команде до 19 лет, выступая в юношеской Бундеслиге севера и северо-востока Германии. Также играл в Оберлиге северо-востока в составе второй команды «РБ Лейпцига». Иногда оказывался в заявке на матчи Кубка Германии, пока не дебютировал здесь 29 октября 2014 года в поединке против «Эрцгебирге» (3:1). 12 декабря в матче против «Гройтера» он дебютировал за команду в чемпионате, заменив во втором тайме Анте Ребича. 24 апреля 2015 года в поединке против «Дармштадт 98» Лукас забил свой первый гол за «РБ Лейпциг». В сезоне 2015/16 принял участие в 30 матчах Второй Бундеслиги, забил еще один гол, а его команда заняла второе место и напрямую вышла в элитный дивизион. 10 сентября в матче против дортмундской «Боруссии» Лукас дебютировал в Бундеслиге. «Лейпциг» стал главным открытием первой половины чемпионата не только в Германии, но и во всей Европы. Лишь из-за поражения «Баварии» в последнем матче года команда не смогла уйти на перерыв в качестве чемпиона. Однако участие Клостермана в этом празднике было минимальным. Из-за тяжелой травмы колена он пропустил весь сезон, а свой следующий матч проведёт лишь 13 августа 2017 года. 26 октября 2016 года продлил контракт с «РБ Лейпцигом» до 2021 года. 3 мая 2019 года оформил свой первый дубль в карьере, в матче против «Майнца» (3:3).