Брауэрс — воспитанник клубов «Брабан Юнайтед» и «Ден Босх». 10 апреля 2015 года в матче против дублёров ПСВ он дебютировал в Эрстедивизи составе последних. 7 апреля 2017 года в поединке против «МВВ Маастрихт» Люк забил свой первый гол за «Ден Босх». Летом 2020 года Брауэрс перешёл в «Гоу Эхед Иглз» на правах свободного агента. 30 августа в матче против «Дордрехта» он дебютировал за новый клуб. 23 октября в поединке против НЕКа Люк забил свой первый гол за «Гоу Эхед Иглз». В 2021 году Брауэрс помог клубу выйти в элиту. 13 августа в матче против «Херенвена» он дебютировал в Эредивизи.