Брозович начал свою карьеру в клубе «Хрватски Драговоляц». В 2009 году провёл 8 матчей во Второй хорватской лиге. По итогам сезона 2009/10 «Драговоляц» вышел в Первую лигу. В высшем футбольном дивизионе Хорватии Марцело дебютировал 24 июля 2010 года в матче против загребского «Динамо». Летом 2011 года, проведя 22 матча и забив 1 мяч, Брозович перешёл за 264 тысячи фунтов стерлингов из вылетевшего во Вторую лигу «Драговоляца» в загребскую «Локомотиву». В августе 2012 года был оформлен переход Брозовича из «Локомотива» в загребское «Динамо». Сумма трансфера составила 2,112 миллиона фунтов стерлингов, игрок подписал контракт на семь лет. 14 сентября 2012 Марцело дебютировал за «Динамо» в матче против «Осиека». 18 сентября Брозович провёл свой первый матч в еврокубках, сыграв в матче группового этапа Лиги чемпионов против «Порту». Летом 2013 года в приобретении Марцело был заинтересован казанский «Рубин», однако переход хорвата в российский клуб не состоялся. 24 января 2015 года Брозович был арендован миланским «Интернационале» сроком на полтора года с возможностью выкупа. Полузащитник выбрал свой любимый 77-й номер, под которым в последний раз играл Салли Мунтари.