Молодёжную карьеру провёл в загребском «Динамо», «ЗЕТ» и «Локомотиве». В последнем в 2012 году начал профессиональную карьеру. Летом 2014 года перешёл в «Динамо». Дебют за загребский клуб состоялся в матче открытия сезона против «Славен Белупо», в котором Марко также забил гол. 11 декабря 2014 года Пьяца оформил хет-трик в ворота «Селтик» на групповой стадии Лиги Европы 2014/15. 21 июля 2016 года было анонсировано, что Пьяца перешёл за 23 миллиона евро в туринский «Ювентус» и заключил с клубом трёхлетний контракт. Эта продажа стала самой дорогой за всю историю «Динамо» в хорватском чемпионате. Зимой 2018 года Пьяца был отдан до конца сезона в аренду в «Шальке 04». Летом 2018 года Пьяца был отдан в аренду в «Фиорентина» с правом выкупа за 20 миллионов евро.