Барач — воспитанник клуба «Юнак» из своего родного города. В 2010 году он перешёл в футбольную академию «Хайдука», но не выдержал конкуренции и вернулся обратно. Дебютировать на взрослом уровне за родную команду не удалось, поэтом в 2014 году Матео решил попробовать свои силы в швейцарском «Волене», но и этот опыт был неудачным. Летом того же года Барач вернулся на родину, став игроком «Хрватски Драговоляц». 8 октября в матче против «Цибалии» он дебютировал во Второй лиге Хорватии. В 2015 году Барач присоединился к «Шибенику». 14 августа в матче против «Цибалии» он дебютировал за новую команду. 27 февраля 2016 года в поединке против своего бывшего клуба «Хрватски Драговоляц» Матео забил свой первый гол за «Шибеник». Летом 2016 года Барач перешёл в «Осиек». 16 июля в матче против «Истра 1961» он дебютировал во чемпионате Хорватии. В поединке против загребского «Динамо» Матео забил свой первый гол за «Осиек». Летом 2018 года Барач перешёл в венский «Рапид». Сумма трансфера составила 1,5 млн. евро. 29 июля в матче против «Адмира Ваккер Мёдлинг» он дебютировал в австрийской Бундеслиге. 19 июня 2021 года перешел в футбольный клуб «Сочи».