Климович — воспитанник клуба «Институто». 2 июля 2017 года в матче против «Хувентуд Унида» он дебютировал в аргентинской Примере B. 14 октября в поединке против «Альдосиви» Матео забил свой первый гол за «Институто». Летом 2019 года Климович перешёл в немецкий «Штутгарт», подписав контракт на 5 лет. Сумма трансфера составила 1,5 млн. евро. 4 августа в матче против «Хайденхайма» он дебютировал во Второй Бундеслиге. По итогам сезона Матео помог клубу выйти в элиту. 19 сентября в матче против «Фрайбурга» он дебютировал в Бундеслиге. 26 сентября в поединке против «Майнц 05» Мтео забил свой первый гол за «Штутгарт».