Весино является воспитанником футбольного клуба «Сентраль Эспаньол». 6 марта 2010 года он дебютировал в уругвайской Примере, заменив на 63-й минуте матча против «Такуарембо» (4:1) Орасио Перальту. 3 апреля 2011 года Весино забил свой первый гол в чемпионате Уругвая, поразив ворота «Рампла Хуниорс» (общий счёт матча 5:1). 12 августа 2011 года он перешёл в «Насьональ», дебютировал в его составе уже 20 августа в поединке с «Дефенсор Спортинг» (2:2). В сезоне 2011/2012 Весино вместе с командой выиграл чемпионат Уругвая. 19 января 2013 года Весино перешёл в итальянскую «Фиорентину», заплатившую за него 2,3 млн евро. 26 сентября 2013 года он дебютировал в Серии A, заменив Альберто Аквилани на 78-й минуте матча против миланского «Интера» (1:2). Проведя всего 6 матчей за «Фиорентину» в чемпионате Италии, 29 января 2014 года Весино был отдан в аренду клубу «Кальяри» до конца сезона 2013/2014. Там он сыграл 9 матчей и забил 2 гола. Весь следующий сезон уругваец провёл в клубе «Эмполи», который взял его в годичную аренду. В «Эмполи» Весино был одним из основных игроков, сыграл 36 матчей в Серии A и забил в них 2 гола. Вернувшись в «Фиорентину» летом 2015 года, футболист сумел закрепиться в основном составе команды. 31 июля 2017 года «Фиорентина» объявила, что миланский «Интер» активировал сумму отступных в размере 24 миллионов евро, прописанную в контракте Весино.