Винья — воспитанник столичного клуба «Насьональ». 2 апреля 2017 года в матче против «Бостон Ривера» он дебютировал в уругвайской Примере. В 2019 году завоевал с «трёхцветными» Суперкубок Уругвая, а затем помог команде выиграть и чемпионат страны. 1 февраля 2020 года Матиас Винья подписал контракт с бразильским «Палмейрасом». В первом же сезоне помог своей команде стать чемпионом штата. В розыгрыше Кубка Либертадорес 2020 уругваец сыграл в 12 матчах и забил два гола. Помог «зелёным» во второй раз в истории выиграть этот турнир. 8 августа 2021 года Матиас Винья подписал пятилетний контракт с итальянской «Ромой». Сумма трансфера составила € 13 млн без учёта бонусов.