Габбия — воспитанник клуба «Милан». 24 августа 2017 года в квалификационном матче Лиги Европы против северо-македонской «Шкендии» он дебютировал за основной состав. Летом 2018 года для получения игровой практики Маттео был арендован клубом «Луккезе». 16 сентября в матче против «Ареццо» он дебютировал в итальянской Серии C. 27 сентября в поединке против «Каррарезе» Маттео забил свой первый гол за «Луккезе». Летом 2019 года Габбия вернулся в «Милан». 17 февраля 2020 года в матче против «Торино» он дебютировал в Серии A.