Свою футбольную карьеру Эггештайн начал в детской спортивной школе ганноверского района Риклинген, но затем перешёл в юношескую команду «Хафельзе». В начале 2011 года он перешёл в «Вердер», за который выступал в Бундеслиге (до 17 лет). В сезоне 2012/13 этого турнира Максимилиан забил 14 мячей, став пятым в списке бомбардиров. Начиная с 2014 года он был переведён во вторую команду, где играл под руководством Виктора Скрипника на позиции атакующего полузащитника. После перевода Скрипника в основную команду Эггештайн был включён в её состав и сумел дебютировать в Бундеслиге 29 ноября 2014 года, выйдя на замену на 83-й минуте вместо Левента Айчичека в матче против «Падерборна»; сам матч завершился победой «Вердера» 4:0.