Является воспитанником «Грассхоппера». Дебют в швейцарской лиге состоялся 14 августа 2011 года против «Янг Бойз» (0:3), Бауэр отыграл весь матч. 20 июня 2016 года подписал контракт с российским клубом «Рубин», где взял 23-й номер. 9 января 2018 года покинул «Рубин» и подписал 5-летний контракт с английским клубом «Сток Сити». 28 августа 2019 года был отдан в аренду в шотландский клуб «Селтик». 5 февраля 2021 года был отдан в аренду в российский клуб «Уфа» на полгода. 1 июля 2021 года подписал полноценный контракт с «Уфой» на два года.