Радонич — воспитанник клубов «Раднички» из своего родного города. Ещё будучи ребёнком он перешёл в академию столичного «Партизана», а спустя несколько месяцев в румынский «Вииторул». В 2014 году Неманья подписал свой первый профессиональный контракт с итальянской «Ромой», сроком на пять лет. В том же году он на правах аренды был отдан в молодёжную команду «Эмполи». В начале 2016 года Радонич на правах аренды вернулся на родину в клуб «Чукарички». 27 марта в матче против «Младости» из Лучани он дебютировал в сербской Суперлиге. В этом же поединке Неманья забил свой первый гол за «Чукарички». Летом 2017 года Радонич перешёл в «Црвену Звезду», подписав контракт на четыре года. 30 июля в матче против «Рада» он дебютировал за новую команду. 24 августа в поединке квалификации Лиги Европы против российского «Краснодара» Неманья забил свой первый гол за «Црвену Звезду». В 2018 году он помог клубу выиграть чемпионат. 30 августа 2018 года Радонич перешёл в марсельский «Олимпик». Сумма трансфера составила 12 млн евро. Контракт заключён на пять лет. 16 сентября в матче против «Генгама» он дебютировал в Лиге 1. 7 июля 2022 года Радонич на правах аренды перешёл в «Торино» до конца сезона 2022/23. 6 августа в поединке Кубка Италии против «Палермо» Неманя дебютировал за основной состав. 13 августа в матче против «Монцы» он дебютировал в итальянской Серии А. 27 августа в поединке против «Кремонезе» Неманя забил свой первый гол за «Торино».