Элиассон — воспитанник клуба «Фалькенберг». 9 апреля 2013 года в матче против «Эргрюте» он дебютировал в Суперэттан. 2 ноября в поединке против «Энгельхольма» Никлас забил свой первый гол за Фалькенберг. В начале 2014 года Элиассон перешёл в АИК. 31 марта в матче против «Гётеборга» он дебютировал в Аллсвенскан лиге. 31 августа в поединке против «Норрчёпинга» Никлас забил свой первый гол за АИК. Летом 2016 года Элиассон присоединился к клубу «Норрчёпинг». 7 августа в матче против «Эребру» он дебютировал за новую команду. 18 сентября в поединке против «Хельсинборга» Никлас забил свой первый гол за «Норрчёпинг». Летом 2017 года Элиассон перешёл в английский «Бристоль Сити». 12 августа в матче против «Бирмингем Сити» он дебютировал в Чемпионшипе. 22 августа в поединке Кубка Английской футбольной лиги против «Уотфорда» Никлас забил свой первый гол за «Бристоль Сити». В 2020 году перешёл во французский клуб «Ним».