Родился 15 декабря 1996 года в Радомышле, в небольшом городке Житомирской области. Его отец Владимир Зинченко, сам в прошлом футболист, стал первым учителем сына. 1 сентября 2004 года в возрасте 8 лет Александр был зачислен в Радомышльскую ДЮСШ и начал выступать за команду Радомышльского ДЮСШ «Карпатия», где отличался зрелищной и результативной игрой в атаке. С 2004 по 2008 года команда «ДЮСШ-Карпатия» была бессменным победителем областных соревнований и призёром всеукраинских соревнований. Первым тренером Зинченко был Сергей Владимирович Борецкий (позже глава федерации футбола Радомышльского района с 2017 года Заслуженный деятель физической культуры и спорта Украины), он организовал ему просмотр в фарм-клубе донецкого «Шахтёра» «Монолит» (Ильичевск). Вскоре 16-летний Зинченко вошёл в состав «Шахтёра», где стал капитаном команды до 19 лет. Также вызывался в сборную Украины до 17 лет, за которую сыграл 7 матчей и забил 1 гол. В 2014 году игроком интересовался казанский «Рубин», но клуб не смог договориться с агентами игрока. В том году Зинченко поддерживал форму, играя в любительской «Митинской футбольной лиге».