Абильгор — воспитанник клуба «Ольборг». 20 июля 2015 года в матче против «Эсбьерга» он дебютировал в датской Суперлиге. В своём первом поединке Оливер сначала стал виновником пенальти, а затем сравнял счёт, забив свой первый гол за «Ольборг». 9 сентября 2015 года дебютировал в Кубке Дании, попав в заявку на матч с Vendsyssel FF. С 3 февраля 2020 года перешёл в «Рубин» на правах аренды до июня 2020 года с опцией выкупа. «Рубин» воспользовался этой возможностью и подписал с Оливером контракт до июня 2024 года.