Патрик является воспитанником системы пражской «Спарты». Его дебют за родной клуб в рамках высшего чешского дивизиона состоялся 3 мая 2014 года в матче против клуба «Теплице». Всего он отыграл две встречи в своём дебютном сезоне. В следующем сезоне нападающий также появился только в двух матчах первенства страны. В сезоне 2015/16 Патрик был арендован клубом «Богемианс». За «богемцев» игрок забил семь голов в 27 встречах и заслужил приглашение в национальную сборную. 22 июня 2017 года Шик прибыл в Турин для прохождения медосмотра перед переходом в «Ювентус», который заранее согласовал трансфер игрока за 30 миллионов евро. Однако обследование выявило у Патрика нарушения сердечного ритма. Позже футболист прошел повторные тесты в Риме, которые подтвердили наличие у Шика проблем с сердцем. В связи с этим «Ювентус» официально отказался от приобретения нападающего. 29 августа 2017 года перешёл в «Рому» на правах аренды с обязательным правом выкупа. Контракт подписан до 30 июня 2022 года. Затем Патрик Шик перешёл в немецкий футбольный клуб "Байер 04", в котором играет до сих пор.