Воспитанник академии датского клуба «Эсбьерг». Его заметили скауты английского клуба «Хаддерсфилд Таун», после чего пригласили на просмотр во второй половине сезона 2012/13. После успешного прохождения просмотра он стал игроком футбольной академии йоркширского клуба. В октябре 2013 года Биллинг подписал свой первый профессиональный контракт. Проведя год в академии клуба, 26 апреля 2014 года Филип дебютировал в основном составе «терьеров» в матче Чемпионшипа против «Лестер Сити», выйдя на замену Джонатану Хоггу на 76-й минуте. 3 ноября 2015 года впервые вышел в стартовом составе «Хаддерсфилда» в игре против «Рединга». 13 февраля 2016 года в матче против «Ноттингем Форест» забил свой первый официальный гол за «терьеров» дальним ударом с 30 ярдов. 19 ноября 2016 года забил свой второй гол за клуб ударом «с лёта» с 20 ярдов в ворота «Кардифф Сити». В сезоне 2016/17 провёл 24 матча и забил 2 мяча в Чемпионшипе и помог своей команде занять 5-е место, гарантировавшее участие в плей-офф за выход в Премьер-лигу. «Терьеры» выиграли плей-офф, обыграв «Шеффилд Уэнсдей» и «Рединг» (Биллинг в плей-офф не сыграл) и квалифицировались в высший дивизион английского футбола. 1 сентября 2018 года забил свой первый гол в Премьер-лиге в матче с «Эвертоном».