Филипп родился в немецком городе Фирзен, в семье профессионального футболиста Мартина Макса. В момент рождения Филиппа его отец выступал за мёнхенгладбахскую «Боруссию». В 1999 году семья Макса переехала в Мюнхен, так как его отец перешёл в местный клуб — «Мюнхен 1860». В 2000 молодой Филипп был зачислен в молодёжную академию «Болдема», клуба из низших немецких лиг. В 2003 Макс перешёл в академию «Мюнхена 1860». В 2007 году Макс перебрался в академию мюнхенской «Баварии». 2 сентября 2020 года перешёл в нидерландский ПСВ, подписав с клубом четырёхлетний контракт. На данный момент (2023 год) представляет интересы франкфуртского «Айнтрахта» на правах арендованного игрока.