Пётр Зелиньский начинал карьеру футболиста в клубе «Ожель» из своего родного города. В 2007 году оказался в системе подготовки клуба «Заглембе» (Любин). Четыре года спустя перешёл в молодёжную команду итальянского «Удинезе». Полузащитник дебютировал в Серии А 2 декабря 2012 года в матче против «Кальяри», заменив на последней минуте встречи Антонио Ди Натале. 22 августа 2013 года Зелиньский впервые сыграл в Лиге Европы. В первом матче раунда плей-офф против либерецкого «Слована» польский футболист вышел на замену вместо Джампьеро Пинци. 4 августа 2016 года подписал пятилетний контракт с клубом «Наполи».