Янссон — воспитанник клуба «Мальмё». В 2009 году для получения игровой практики он на правах аренды выступал за «ИФК Мальмё». 14 сентября в матче против «Юргордена» Понтус дебютировал в Аллсвенскан лиге. 15 мая 2010 года в поединке против «Мьельбю» он забил свой первый гол за «Мальмё». В том же сезоне Янссон помог клубу выиграть чемпионат. В 2013 году он во второй раз стал чемпионом страны, а также завоевал Суперкубок Швеции. Летом 2014 года Понтус на правах свободного агента перешёл в итальянский «Торино». 19 октября в матче против «Удинезе» он дебютировал в итальянской Серии A. 30 апреля 2016 года в поединке против «Удинезе» Янссон забил свой первый гол за «Торино». Летом 2016 года Янссон на правах аренды перешёл в английский «Лидс Юнайтед». 10 сентября в матче против «Хаддерсфилд Таун» он дебютировал в Чемпионшипе. 5 ноября в поединке против «Норвич Сити» Понтус забил свой первый гол за «Лидс Юнайтед». После окончания срока аренды Янссон остался в «Лидсе», заключив с клубом контракт на три года.