Уден начинал заниматься футболом в родном городе Шалон-ан-Шампань, а в возрасте десяти лет перешёл в команду «Саргемин» из того же департамента Марна. Там он был замечен представителями «Меца» и в 2011 году присоединился к этому клубу. Когда Реми исполнилось пятнадцать лет, его отец переехал в Реймс и взял сына с собой. Без просмотра Уден был принят в молодёжную команду клуба «Реймс». В первый год выступлений за клубную команду юношей до 19 лет он едва не был забракован, поскольку при хороших физических данных и технических навыках не мог продемонстрировать никаких результатов в игре. Но на второй год Реми улучшил свою игру и в 2015 году помог «Реймсу» выиграть чемпионат Франции среди команд до 19 лет. Нападающий французского клуба «Бордо», на данный момент (сезон 2022-2023) выступающий на правах аренды за резидента Серии А «Лечче».