Заниматься футболом начал в клубе «Букенбург», а затем в молодёжном составе «Карлсруэ». В 2014 году перешёл в «Ингольштадт 04». Дебютировал во Второй Бундеслиге 31 октября 2014 года в матче против «Фортуны» (Дюссельдорф), заменив Альфредо Моралеса в перерыве матча. 22 ноября 2015 года Бауэр оформил дебютный гол в Бундеслиге в матче против «Дармштадт 98». В 2019 году перешёл в тульский «Арсенал». В команде получил 4-й номер.