20 января 2015 года Родриго дебютировал за основную команду аргентинской «Боки Хуниорс», в товарищеском матче против «Велес Сарсфилда», выйдя на замену на 69-й минуте встречи, «Бока» победила со счетом 3:1. Также Бентанкур сыграл пять минут в матче против «Ривер Плейт» в Мар-дель-Плате (в рамках Летнего турнира), в котором «Бока» выиграла 1:0. 9 апреля 2015 года официально дебютировал в главной команде «Боки Хуниорс» против «Монтевидео Уондерерс» в Кубке Либертадорес, заменив соотечественника Николаса Лодейро. Дебютировал в Примере Аргентины 12 апреля того же года в игре против «Нуэва Чикаго». Игра завершилась вничью со счётом 0:0. В Кубке Аргентины Бентанкур впервые сыграл в матче против «Уракан Лас-Эрас». 21 апреля 2017 года подписал контракт с итальянским «Ювентусом» сроком до 30 июня 2022 года. 1 февраля 2022 года подписал контракт с «Тоттенхэмом» до 2026 года. Первый матч за «шпор» провёл 5 февраля 2022 года, когда на 77 минуте вышел на замену на кубковый матч с «Брайтоном».