Начал заниматься футболом в родном Воронеже, в «Футбольном центре Валерия Шмарова-73» в возрасте четырёх лет. Первый тренер — Андрей Юрьевич Черноусов. На одном из турниров в Ефремове Литвинова заметили скауты московского «Спартака», после чего позвонили его отцу и предложили съездить на просмотр. Руслан ездил на просмотр пять раз, в итоге финальным был всероссийский турнир «Бесков и его команда», после которого позвонили и сообщили, что Литвинов зачислен в спартаковскую академию. В июле 2018 года выпустился из академии и перешёл в молодёжную команду «Спартака». 30 сентября 2018 года дебютировал в молодёжной команде в матче 9-го тура молодёжного первенства против «Ростова» (4:0), в этом матче вышел на замену на 87-й минуте вместо Дениса Глушакова. Первый мяч за «молодёжку» забил 24 апреля 2019 года в матче 25-го тура молодёжного первенства против тульского «Арсенала» (5:0). В сезонах 2018/19 и 2019/20 в молодёжном первенстве провёл 24 матча и забил 2 мяча. Летом 2019 года начал привлекаться в фарм-клуб «Спартак-2». 20 августа 2019 года дебютировал в первенстве ФНЛ в матче 9-го тура против «Енисея» (2:0), в этом матче вышел на замену на 79-й минуте вместо Михаила Игнатова. Всего в сезоне 2019/20 провёл 7 матчей. Первый мяч за вторую команду забил 13 октября 2020 года в матче 15-го тура первенства ФНЛ 2020/21 против «Крыльев Советов» (1:2). Удачно отыграв стартовый отрезок первенства ФНЛ 2020/21, начал привлекаться главным тренером Доменико Тедеско в основную команду. Дебютировал за «Спартак» 21 октября 2020 года в матче 3-го тура Кубка России против «Енисея» (0:1), в этом матче вышел на замену на 57-й минуте вместо Ильи Кутепова. 5 декабря 2020 года дебютировал в премьер-лиге в домашнем матче 17-го тура против «Тамбова» (5:1), в этом матче вышел на замену в компенсированное время ко второму тайму вместо Алекса Крала. Свой первый мяч за «Спартак» забил 30 октября 2021 года в матче 13-го тура против «Ростова» (1:1).