Азмун с 15 лет выступал за исфаханский клуб «Сепахан» из высшего дивизиона чемпионата Ирана. В состав казанского «Рубина» перешёл в 17 лет, в декабре 2012 года, став вторым иранцем в команде после подписанного в январе того же года вратаря Алирезы Хагиги. Он стал самым молодым иранским игроком в истории, выступающим за иностранный клуб. Первый официальный матч за «Рубин» сыграл 25 июля 2013 года в Лиге Европы против сербской «Ягодины». 29 августа в матче Лиги Европы против «Мольде» вышел на замену и на 84-й минуте забил гол. 6 октября 2013 года дебютировал в Чемпионате России, выйдя на замену на 73 минуте в домашнем матче против «Анжи», на добавленной минуте второго тайма отметился первым голом в РФПЛ за «Рубин», а также заработал пенальти.В 2013/2014 в Чемпионате России по футболу Азмун сыграл 14 матчей и забил 4 гола .В 2014/2015 в Чемпионате России по футболу в 13-ти матчах забил 1 гол и получил две жёлтые карточки. Летом 2017 года Сердар Азмун вернулся в Рубин. Азмун принадлежал «Рубину» в 2012-2016 годах. Зимой 2015 года он был арендован «Ростовом», а летом 2016 года перешел в ряды желто-синих на постоянной основе, воспользовавшись пунктом в контракте. После перехода в казанский «Рубин» сыграл 40 матчей в Чемпионате России за два сезона и забил 10 голов. 1 февраля 2019 года покинул «Рубин» и перешёл в «Зенит». 1 февраля 2019 года подписал контракт с «Зенитом» сроком на 3,5 года, сумма трансфера составила 12 млн евро. Дебютировал 12 февраля, выйдя на замену в первом матче 1/16 финала Лиги Европы против «Фенербахче». 21 февраля 2019 года в ответном матче впервые вышел в стартовом составе, сделал голевую передачу на Магомеда Оздоева и забил два мяча. 22 февраля был признан игроком недели в Лиге Европы. 2 марта в дебютном выездном матче РПЛ против «Урала» Азмун вышел в стартовом составе и забил победный мяч (1:0). В сезоне 2018-2019 завоевал золотую медаль чемпионата России. 19 августа 2020 года в матче 3-го тура Российской Премьер-Лиги «Зенит» переиграл ЦСКА. Встреча проходила на стадионе «Газпром Арена» и завершилась со счётом 2:1 в пользу хозяев. Форвард «Зенита» Сердар Азмун на 19-й минуте встречи открыл счёт, а на 69-й сделал дубль и вырвал для своей команды 3 очка. 22 января 2022 года «Байер 04» представил футболиста. Контракт рассчитан до 2027 года.